Pratiques

Décalage interdisciplinaire dans l'enseignement universitaire en économie

Jacques Bair et Valérie Henry1, professeurs de mathématiques à l'Université de Liège (Belgique).

Dans cet article, nous proposons un modèle élémentaire qui met en évidence l'existence possible d'un décalage épistémologique résultant de la transmission d'un même savoir par les deux communautés d'enseignants en mathématiques et en économie.
Puis, en guise d'illustrations, nous exhibons une situation didactique qui est immanquablement rencontrée dans la formation universitaire des économistes : il s'agit de l'étude de la loi de demande pour un bien de consommation.
Nous concluons par quelques réflexions didactiques relatives à l'enseignement de savoirs à mathématiques pour des économistes ; nous proposons notamment, pour l'exemple traité, des contenus susceptibles d'atténuer les effets négatifs du décalage interdisciplinaire décrit. Nous lançons également quelques pistes relatives à des recherches qui pourraient être menées pour prolonger ce travail.

Il est bien connu en didactique des mathématiques que le savoir mathématique enseigné en scolarité obligatoire est, généralement, le résultat d'une transposition didactique qui concerne plusieurs transformations réalisées par divers acteurs.

Au départ, les mathématiciens chercheurs découvrent des théories mathématiques nouvelles qui vont former le savoir mathématique savant ; celui-ci est présenté dans des publications scientifiques spécifiques ou lors de congrès scientifiques entre spécialistes.

De ce savoir savant, la noosphère, c'est-à-dire l'ensemble des personnes intervenant dans l'élaboration des programmes, va en extraire le savoir mathématique à enseigner : il s'agit des matières mathématiques qui figurent dans les programmes officiels d'enseignement.

Le savoir à enseigner est ensuite placé dans une situation d'enseignement et habituellement adapté du savoir savant à des fins didactiques : cette transformation du savoir représente une mission essentielle de l'enseignant ; nous dirons simplement que le fruit de ce travail constitue le savoir enseigné par les professeurs de mathématiques.

Dans un enseignement universitaire en économie2, les savoirs que doivent acquérir les étudiants sont pluriels, allant des mathématiques à la sociologie, en passant par les statistiques, l'informatique, le droit ou encore les langues étrangères ; ils sont néanmoins tous orientés vers l'économie. Ces savoirs se décomposent en savoirs à mathématiques, c'est-à-dire "des savoirs dont la manipulation suppose, peu ou prou, la manipulation de mathématiques vivantes3", et les autres savoirs que, par analogie, nous nommerons savoirs sans mathématiques.

Seuls les savoirs de la première catégorie, c'est-à-dire les savoirs à mathématiques, vont nous intéresser dans la suite.

Modélisation

Notion de décalage interdisciplinaire

Lors d'études supérieures en économie, les savoirs à mathématiques transmis aux étudiants sont généralement issus de deux sources différentes qui sont, d'une part, la sphère savante mathématique (Artaud, 1994, p. 299) et, d'autre part, ce que nous appellerons par analogie la sphère savante économique.

Ainsi, un savoir à mathématiques d'un étudiant en économie peut être transmis soit par un professeur de mathématiques, soit par un professeur d'économie, les mathématiciens s'étant généralement initiés, le plus souvent de façon autodidacte, aux théories économiques, tandis que les économistes ont à tout le moins suivi des cours de mathématiques à l'université.

Il advient dès lors, quelquefois, qu'une même notion soit présentée différemment par ces deux intervenants : cela entraîne ce que nous nommerons un décalage. Bien entendu, il s'agit là du cas particulier d'un phénomène qui peut se rencontrer chaque fois que les mathématiques jouent le rôle de savoir fondamental dans l'élaboration d'un savoir à mathématiques au sein d'une discipline quelconque, c'est-à-dire "sont utilisées pour produire et/ou pour mettre en oeuvre le savoir disciplinaire en question" (Artaud, 1994, p. 299) ; dans ce contexte général, nous parlerons alors de décalage interdisciplinaire4.

Un modèle élémentaire

Le cadre théorique dans lequel nous allons développer notre modèle est celui de l'apprentissage d'un savoir à mathématiques, qui sera noté S ultérieurement, spécifique pour économiste. Ce savoir est transposé d'un savoir savant qui s'est développé au cours du temps, mais uniquement dans la sphère des mathématiciens ou uniquement dans la sphère des économistes. Il s'agit là d'une hypothèse qui n'est évidemment pas toujours vérifiée dans la pratique, notamment à cause des interactions possibles entre les recherches réalisées dans les deux sphères considérées.

Repérons par un indice 1 la discipline dans laquelle se construit le savoir savant considéré, l'autre discipline, indicée par un numéro 2, se limitant, conformément à notre hypothèse, à exploiter ce savoir savant.

Pour tenir compte de l'aspect dynamique du modèle, nous désignerons par S (T) l'état du savoir savant au temps T : pour fixer les idées, T pourra représenter la date de la publication dans laquelle fut exposé pour la première fois le savoir considéré. De plus, nous désignerons par S* (T) le savoir à enseigner et par S° (T) le savoir enseigné qui correspondent à S (T).

Alors qu'un professeur de la discipline 1 se référera à un certain état S (T1) du savoir S, son collègue de la discipline 2 considérera l'état S (T2) de ce même savoir. Or, ces deux états du savoir S (T1) et S (T2) ne coïncident pas toujours parce que les deux enseignants n'ont pas forcément la même formation, ni les mêmes objectifs pédagogiques. De fait, la discipline 1 ayant, par hypothèse, été celle dans laquelle s'est développée la matière considérée, ses enseignants ont vraisemblablement une formation plus poussée que leurs collègues sur le sujet et ont aussi souvent le souci de présenter à leurs étudiants des développements parmi les plus récents de leur branche. Par contre, les professeurs de la discipline 2 ont fréquemment des ambitions moins didactiques, mais plus praxéologiques (Artaud, 2003), puisqu'ils se contentent d'utiliser une théorie construite dans une autre sphère que la leur, généralement pour résoudre un problème concret qu'ils rencontrent dans leur propre sphère. Il en résulte que T1 ne coïncide d'habitude pas avec T2, et donc que S (T1) peut différer de S (T2). Il peut bien sûr en aller de même avec les savoirs à enseigner S* (T1) et S* (T2), ainsi qu'avec les savoirs enseignés S° (T1) et S° (T2).

Au total, le savoir appris5, noté dans la suite SA, par un même apprenant au sujet du savoir S peut provenir de deux enseignements distincts, à savoir S° (T1) et S° (T2), ce qui provoque alors un décalage interdisciplinaire.

La figure ci-dessus représente schématiquement ce modèle, avec, en ligne préliminaire, les différents types et états des savoirs relatifs au thème S, ainsi que, près des flèches et dans un encadré, les différents acteurs qui seront notés respectivement Si pour les membres de la sphère savante, Ni pour la noosphère, Pi pour les enseignants de la discipline i (pour i = 1, 2), et ET pour les étudiants.

Exemple de la loi de demande

Évolution historique du savoir savant

Parmi les multiples questions qu'ils abordent, les économistes ont toujours accordé une grande importance à l'étude des liens pouvant exister entre "le prix d'un bien et la quantité de ce bien qui est demandée, et toutes choses égales par ailleurs6" ; il s'agit du savoir savant S considéré dans cette section.

La première relation mathématique de ce type fut vraisemblablement l'oeuvre de l'économiste H. Lloyd ; celui-ci proposa, en 1771, dans son ouvrage On the Theory of the Money, la formule suivante : P = M/Q, où P, M et Q désignent respectivement le prix, la masse monétaire et la quantité des marchandises7.

Cette égalité fut contestée par A. Cournot, mathématicien, économiste et philosophe français, qui est aujourd'hui considéré comme le fondateur de l'économie mathématique. Dans son ouvrage Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses paru en 1838, le savant français s'interrogeait : "Le prix des choses, a-t-on dit d'une voix presque unanime, est en raison inverse de la quantité offerte, et en raison directe de la quantité demandée. [...] Mais le principe même en quoi consiste-t-il ? Veut-on dire que, dans le cas où une quantité double de la denrée est mise en vente, le prix baisse de moitié ?" Il rejeta l'idée de pouvoir exprimer la relation entre prix et quantité d'un bien par une formule algébrique semblable à celle de Lloyd, par manque d'observations statistiques et parce que la demande se modifie au cours du temps. Toutefois, il proposa une loi de la demande ou du débit de la forme D = F(p), où D représente le débit ou la demande annuelle, tandis que p désigne le prix moyen annuel. De plus, il supposait que la fonction F, dont la forme exacte n'est en principe pas connue, est notamment décroissante et continue8 ; en effet, d'une part, le débit augmente quand le prix diminue (sauf pour des exceptions, comme le diamant par exemple) et, d'autre part, F est "une fonction qui ne passe pas soudainement d'une valeur à une autre, mais qui prend dans l'intervalle toutes les valeurs intermédiaires". En exploitant ensuite la puissance de l'analyse mathématique, qui "consiste précisément à assigner des relations déterminées entre des quantités dont les valeurs numériques et même les formes algébriques sont absolument inassignables", Cournot résolut le problème de la maximisation de la valeur totale de la quantité débitée annuellement en annulant la dérivée de la fonction p ( p F (p) ; à cette occasion, il traça une représentation graphique de la loi de demande, en portant les prix p en abscisses et les quantités débitées D en ordonnées.

Dans son oeuvre, A. Cournot n'expliquait pas l'origine de la valeur, ce qui était à l'époque une préoccupation majeure pour de nombreux économistes.

L'estimation classique de la valeur d'un bien par son coût de production ne permettait pas d'expliquer certaines situations concrètes, telles que le paradoxe de la valeur mis en évidence par A. Smith qui est souvent considéré comme "le père fondateur de l'économie" : "Rien n'est plus utile que l'eau. Cependant, vous ne l'échangerez que pour bien peu de chose. Un diamant, au contraire, n'a guère de valeur d'usage. En revanche, il arrive souvent qu'on obtienne une très grande quantité d'autres biens en échange de celui-ci." (cité par Samuelson-Nordhaus, 2000, p. 91).

Cette distinction entre ces deux types de valeur, à savoir la valeur d'usage et la valeur d'échange, a pu être expliquée par le marginalisme, un courant qui comprend principalement trois écoles en Autriche avec Menger, en Angleterre avec Jevons et Edgeworth et en France avec Walras et Pareto9. Pour cette théorie, la valeur d'usage est l'utilité totale, tandis que la valeur d'échange est l'utilité marginale, c'est-à-dire l'utilité de sa dernière unité : par exemple, l'eau a une plus grande utilité totale mais une plus petite utilité marginale que le diamant. Le paradoxe de Smith peut être expliqué comme suit : "plus une marchandise est abondante, moindre est la désirabilité relative de sa dernière unité" (Samuelson-Nordhaus, 2000, p. 91).

Une synthèse et un approfondissement des travaux des marginalistes conduisirent Marshall à déterminer une courbe de demande en agrégeant les demandes individuelles, celles-ci pouvant être construites à partir de la fonction d'utilité de chaque consommateur. De fait, si un individu achète deux biens X et Y, en quantités respectives x et y, aux prix unitaires pX et pY et en disposant d'un revenu total R, il cherche à maximiser sa fonction d'utilité définie par U (x, y), tout en respectant la contrainte budgétaire donnée par l'égalité pX x + pYy = R.

L'on sait que le choix optimal se produit lorsqu'une courbe d'indifférence, d'équation implicite U (x, y) = k, vient toucher tangentiellement la contrainte budgétaire dans le plan des quantités ; cette condition géométrique se traduit par l'égalité, en valeur absolue, entre le taux marginal de substitution et le rapport des prix, où le taux marginal de substitution TmS n'est rien d'autre que le rapport des utilités marginales. En appliquant cette théorie au cas d'un consommateur qui commande une quantité qX du bien X, les autres produits étant agrégés dans le bien Y, son choix optimal permet de déterminer le prix pX correspondant ; en supposant unitaire le prix du bien agrégé Y, on peut écrire pX = |TmS| : ce prix mesure donc la quantité du bien Y que le consommateur est prêt à sacrifier suite à une petite augmentation du bien X pour conserver le même niveau de satisfaction10.

S'appuyant sur ce raisonnement, Marshall construisit graphiquement la courbe de demande du bien X considéré en portant, dans le plan muni d'un repère orthogonal, chaque quantité qX sur l'axe horizontal et le prix pX correspondant sur l'axe vertical. Depuis lors, les économistes ont pris l'habitude de représenter les prix en ordonnées dans la représentation graphique de la fonction de demande. Cette disposition leur permet de présenter aisément d'autres notions, comme la recette marginale, l'élasticité de la demande ou encore les surplus du consommateur et du producteur.

Application du modèle

La recherche de liens entre le prix et la quantité d'un produit est une question avant tout économique. Cette théorie, notée S dans le modèle, s'est donc développée essentiellement dans la sphère savante économique, de sorte que l'indice 1 du modèle est réservé à l'économie et le 2 aux mathématiques.

Les enseignants économistes utilisent une courbe de demande notamment pour expliquer la formation de prix ; ils adoptent ainsi la convention marshallienne qui consiste à placer les prix en ordonnées et les quantités en abscisses ; ils font alors appel à un savoir savant exposé dans les Principles of Economics de Marshall (Als, 1961, p. 140), de sorte que l'on peut écrire T1 = 1890.

De leur côté, les enseignants mathématiciens évoquent généralement la loi de demande comme un exemple de fonction utilisée en économie. Ils représentent alors graphiquement la fonction p ==> q = F (p) de la même manière qu'ils tracent le graphe d'une fonction x ==> y = f (x), c'est-à-dire en portant les valeurs de la variable "indépendante" (p ou x selon les cas) sur l'axe horizontal du repère et celles de la variable "dépendante" (q ou y) sur l'axe vertical. Ils sont ainsi fidèles à la démarche suivie par Cournot dans son ouvrage Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses ; en conséquence, on peut écrire T2 = 1 838. Notons encore que les mathématiciens ne prennent habituellement pas autant de précautions que Cournot pour introduire une fonction de débit : par exemple, souvent, ils ne s'intéressent ni à l'interprétation économique ni à la détermination pratique des grandeurs comme le faisait lui-même Cournot ; de la sorte, le savoir à enseigner S* (T2) est fréquemment plus pauvre que le savoir savant original S (T2).

Il en résulte que le savoir appris SA des étudiants provient de deux versions différentes relatives à la représentation graphique d'une fonction de demande ; celles-ci se présentent souvent sous la forme de courbe ayant la même allure, la seule différence résidant dans la mention des variables sur les axes de coordonnées : pour S° (T1), les prix sont en ordonnées, tandis que pour S° (T2), ce sont les quantités qui sont en ordonnées.

Ce décalage représente évidemment un obstacle potentiel et peut provoquer des confusions ou des erreurs, ainsi qu'en témoigne notamment cet exemple relatif à une demande linéaire11 définie par l'égalité q = a - b p, avec, en général a > 0 et b > 0.

Considérons l'élasticité de la demande d'un bien par rapport au prix : dans ce cas, elle est égale à

;
ce bien est déclaré posséder une demande élastique ou inélastique selon que l'élasticité correspondante est, en valeur absolue, respectivement supérieure ou inférieure à l'unité. Cette distinction entre les biens peut être visualisée au moyen de la représentation graphique de la fonction de demande, qui est une droite généralement restreinte au premier quadrant pour des raisons économiques évidentes. Les biens à demande inélastique pour les économistes (respectivement pour les mathématiciens) sont situés, sur la figure, là on se retrouvent les biens à demande élastique pour les mathématiciens (respectivement pour les économistes). Ainsi en attestent les deux graphiques ci-dessous qui figurent dans des livres de référence destinés aux mêmes étudiants.

Ce genre d'obstacle potentiel chez un apprenant peut se retrouver dans d'autres circonstances fréquemment rencontrées par des étudiants en économie, par exemple dans la détermination du surplus d'un consommateur ou du surplus d'un producteur.

Graphique : L'élasticité d'une courbe de demande linéaire (figures 2)

Un enseignement interdisciplinaire...

En théorie, il semble aisé de combler un décalage interdisciplinaire : il "suffit" que les deux communautés d'enseignants travaillent dans la même direction et au même rythme. Pourquoi ne pas rêver d'un enseignement interdisciplinaire dans lequel un mathématicien et un économiste présenteraient, simultanément et de façon concertée, une même matière ?

Dans la pratique, ce n'est évidemment pas aussi simple qu'il y paraît à première vue.

En ce qui concerne de tels décalages interdisciplinaires, les didacticiens nous semblent pouvoir agir sur plusieurs fronts :

  • repérer les sujets de décalage possible ;
  • prévoir une séquence de dé-transposition (Antibi-Brousseau) quand un tel décalage a été décelé ;
  • anticiper de tels décalages ;
  • chercher des présentations adéquates qui pourraient d'emblée convenir aux deux communautés enseignantes et être adaptées aux étudiants.

Un tel travail demande évidemment une bonne formation de l'enseignant tant en mathématiques qu'en économie. En plus de compétences disciplinaires adéquates, le professeur devra également faire preuve de compétences transversales afin d'adapter son enseignement et de relier entre eux les différents points de vue.

Nous tenons à montrer la faisabilité de ce programme en proposant des suggestions issues de notre expérience personnelle et qui sont susceptibles de traiter les décalages exposés dans notre exemple.

Pour la loi de demande, on pourrait introduire, en conservant les notations antérieures, deux notions différentes, à savoir une demande directe définie par une égalité de la forme q = f (p) et une demande inverse qui répondrait à l'égalité suivante p = F (q)12; bien entendu, lorsque la fonction de demande est injective, les fonctions f et F sont réciproques l'une de l'autre.

Dans le cas particulier d'une demande linéaire, il serait alors bon d'utiliser des lettres différentes pour désigner les paramètres intervenant dans les fonctions affines considérées, à savoir :
q = a - b p et p = c - d q ; pour un même bien, on a évidemment c = a/b et d = 1/b.

En représentant graphiquement ces deux demandes de la manière habituelle, c'est-à-dire en portant en abscisses les valeurs de la variable du deuxième membre et en ordonnées celles de la variable du premier membre, on retrouverait le graphique du mathématicien (respectivement de l'économiste) pour la demande directe (respectivement pour la demande inverse).

Prolongement

Pour terminer, nous proposons trois directions de recherches susceptibles de prolonger cette étude.

  • Il serait intéressant d'essayer d'appliquer un semblable modèle à d'autres situations rencontrées dans la formation d'un économiste. Nous pensons notamment aux concepts fondamentaux de valeur marginale, d'élasticité et de différentielle qui sont abondamment exploités en économie, quelquefois de manière polysémique ; une amorce de ces questions peut être trouvée dans les travaux de Henry (2004).
  • Une autre piste possible consisterait à s'efforcer d'affiner le modèle, notamment en tenant compte d'interactions potentielles dans la constructions des deux savoirs savants envisagés ; cela pourrait être réalisé en exploitant des liens existant entre l'institution de production de savoir économique P et l'école E qui lui est associée, ainsi que la sphère savante mathématique Pm (Artaud, 1994, p. 299-300). Sur la figure 1 de notre modèle, on pourrait effectivement envisager diverses flèches reliant des noeuds affectés d'indices différents.
  • Enfin il serait utile de mener une étude similaire sur les décalages interdisciplinaires entre deux ou plusieurs disciplines arbitraires.

(1) J.Bair@ulg.ac.be et V.Henry@ulg.ac.be.

(2) Artaud M., "Les mathématiques en économie comme problème didactique. Une étude exploratoire", thèse pour obtenir le grade de docteur de l'université d'Aix-Marseille-II, Marseille, 1993.

(3) Chevallard Y., La Transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné. Grenoble, La Pensée Sauvage, 1991, cité in Artaud M., "Un nouveau terrain pour la didactique des mathématiques : les mathématiques en économie", in Artigue M., Gras R., Laborde C., Tavignot P. (éd.), Vingt ans de didactique des mathématiques en France, Grenoble, La Pensée Sauvage, 1994, p. 298-304.

(4) Henry V., "Questions de didactique soulevées par un enseignement de l'analyse non standard à de futures économistes", thèse pour obtenir le grade de docteur en didactique des mathématiques de l'université Paul-Sabatier de Toulouse, 2004.

(5) Antibi A., Brousseau G., "Vers l'ingénierie de la dé-transposition", Les Dossiers des sciences de l'éducation, Toulouse, université du Mirail, 2002, n° 8, p. 45-57.

(6) Samuelson P. A., Nordhaus W. D., Économie, 16e édition, Paris, Economica, 2000.

(7) Als M. G., Histoire de l'économie mathématiques, Bruxelles, Presses universitaires de Bruxelles, 1961.

(8) Artaud M., "À propos du rapport aux mathématiques en économie", in Irem, Ciford, Département de mathématiques (Luminy), Département de sciences humaines (Luminy), IUFM (éd.), Séminaire mathématiques et sciences humaines 2000-2001 (p. 27-47), publication de l'Irem de l'académie d'Aix-Marseille, 2002, n° 25.

(9) Bair J. et Haesbroeck G., "La formation quantitative des économistes à la lumière de l'évolution des rapports entre les mathématiques et l'économie", in Proceeding I. Histoire et épistémologie dans l'éducation mathématique, Troisième université d'été européenne, UCL-KUL, Louvain-la-Neuve, Leuven, 2000.

(10) Varian H. R., Introduction à la microéconomie, Bruxelles, De Boeck Université, 1992.

(11) Les économistes qualifient de demande linéaire une fonction de demande qui en fait affine en la variable prix.

(12) Nous nous devons de signaler que certains économistes distinguent ces deux types de demande, mais de façon fort timide et en les confondant quelquefois.

Idées, n°141, page 48 (09/2005)

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