Le modèle de Solow

Le modèle de Solow décrit un monde où il existe un bien, qui sert à la fois à la production et à la consommation et qui est produit à partir de lui-même et de travail. Il y a un nombre d'individus N qui travaillent et consomment.

La croissance de l'économie résulte de l'accumulation de capital qui obéit à une règle simple : le capital en fin de période est la somme du capital initial non déclassé durant la période et de l'investissement. Il est de plus supposé qu'une fraction, constante au cours du temps, du capital est déclassée au cours de chaque période. Comme l'investissement est nécessairement égal à l'épargne, l'évolution du capital suit l'équation suivante (en notant Q la production, K le capital, d son taux de déclassement et s le taux d'épargne ; l'indice t représente le temps) :

(1) Kt - Kt - 1 = st Qt - d Kt - I

Cette première relation est d'ordre comptable. La relation suivante est d'ordre technique. Il est supposé que le bien est produit à partir d'une fonction de production "Cobb-Douglas" :

(2) Qt = At Kt - 1a Nt1 - a avec 0 <a< 1

Le bien Q est produit à partir de capital (K), homogène au bien lui-même (le capital est du bien accumulé), et de travail (N).

Les paramètres A et a représentent respectivement le niveau de la technologie et l'élasticité de la production au capital (supposée constante au cours du temps).

Les rendements d'échelle sont constants : si l'on multiplie les deux facteurs de production par une valeur l, on multiplie la quantité produite par cette même valeur l.

Le fait que a et 1 - a soient inférieurs à 1 signifie que la productivité marginale de chacun de ces deux facteurs de production décroît quand le niveau de ce facteur augmente. Selon cette fonction de production, en retenant l'hypothèse que a est inférieur à 1, un même effort d'investissement est d'autant moins rentable que le niveau du capital est élevé, c'est-à-dire que l'économie est riche.

Dans le cas limite (qui n'est pas retenu par Solow) où a est égal à 1, la productivité marginale du capital ne dépend pas de son niveau. Ainsi, selon cette fonction de production, en retenant l'hypothèse que a est égal à 1, un même effort d'investissement est aussi rentable dans une économie pauvre que dans une économie riche.

Une troisième relation, d'ordre économique, permet de boucler le modèle. Elle postule que le taux d'épargne est constant au cours du temps. Il est de plus supposé que les facteurs de production (dont le travail) sont pleinement utilisés, ce qui interdit d'analyser le chômage. On obtient alors l'équation suivante qui décrit l'évolution du capital :

(3) Kt - Kt - 1 = s At Kt - 1a Nt1 - a - d Kt - 1

L'accumulation du capital provient de l'écart entre l'investissement et le déclassement. Ce dernier est une fraction constante du capital installé. Quant à l'investissement, c'est ce qui reste de la quantité produite une fois ôtée la consommation. Puisque le taux d'épargne est constant, c'est une fraction constante de la production. Or le rendement marginal du capital est une fonction décroissante du capital : plus le niveau du capital installé est élevé, moins sa rentabilité marginale est forte. Ainsi, quand il y a peu de capital dans l'économie, la partie de la production investie permet d'accroître fortement le capital. Plus il y a de capital, moins c'est le cas.

Imaginons tout d'abord que le nombre de travailleurs soit constant et que la technologie n'évolue pas. Au cours du temps la productivité va diminuer inexorablement, puisque le seul facteur de production qui se modifie est le capital et que son accumulation réduit son efficacité. Il y a une valeur du stock de capital telle que l'augmentation d'une unité de l'investissement induit un accroissement de la production épargnée plus faible que l'accroissement du déclassement. À cette valeur limite, l'accumulation s'arrête. À ce niveau de capital, l'investissement permet simplement de renouveler le stock de capital. À un niveau de capital légèrement inférieur, il serait rentable d'investir (puisque l'investissement supplémentaire rapporterait plus que le déclassement du capital). À un niveau légèrement supérieur, ce ne le serait plus. L'équilibre est donc stable : quand l'économie se trouve à ce niveau d'équilibre du capital elle y reste.

Imaginons maintenant que le nombre de travailleurs croisse à un rythme constant et que l'efficacité de la fonction de production (le paramètre A qu'on peut assimiler à la technologie) croisse à un rythme constant. Le même mécanisme va jouer, une fois prise en compte la nécessité de doter en capital les nouveaux travailleurs, mesurés en terme "efficaces" (c'est-à-dire en incorporant les effets de la croissance de la technologie). Comme dans le cas précédent, il existe une valeur d'équilibre du capital, mais, ici, elle croît à un rythme constant au cours du temps. De plus, si le capital s'éloigne du sentier de croissance d'équilibre (l'ensemble des valeurs d'équilibre au cours du temps) à cause d'un choc exogène au champ de l'économie (qui par exemple détruirait du capital), il y revient ensuite. Il y a stabilité du sentier de croissance, ce qui est la réponse optimiste aux thèses de Harrod.

Le taux de croissance d'équilibre est obtenu en divisant chaque membre de l'équation (3) par Kt - 1 :

(4) kt - 1= s At Kt - 1a - 1 Nt1 - a - d (avec, en minuscules, le taux de croissance des variables indiquées par des lettres majuscules).

La solution stationnaire, obtenue quand les ajustements dynamiques ont joué, est définie par la constance de ce taux. Pour l'obtenir, il faut que la quantité At Kt - 1a - 1 Nt1 - a soit constante, ce qui implique que son taux de croissance [a + (a - 1) k + (1 - a) n] soit nul.

On obtient donc :

(5) k = n + a/(1 - a)

Le taux de croissance du capital de long terme est égal au taux de croissance de la population auquel s'ajoute un progrès technique, fonction de l'évolution de la technologie.

Idées, n°146, page 58 (12/2006)

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