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Diversité

III. La dérive des contenus éducatifs

Territoires et résolution de problèmes au collège

Philippe LEBORGNE, directeur-adjoint IUFM de l'université de Franche-Comté,
Jean-Pierre LEVAIN, maître de conférence IUFM de l'université de Franche-Comté.

Différentes recherches ont mis en évidence le fait que les élèves des écoles rurales se caractérisent par des résultats équivalents, voire légèrement supérieurs, à leurs camarades des écoles urbaines ou périurbaines. Comment dès lors peut-on expliquer la "relative dégradation" de leurs trajectoires scolaires durant la période du collège ? Cette question est abordée sous l'angle de la psychologie cognitive.

Le travail présenté ici concerne une enquête exhaustive menée auprès de l'ensemble des classes de quatre établissements (un collège situé en zone urbaine et accueillant une part importante d'élèves en difficulté1, un collège caractéristique du milieu rural sous faible influence urbaine, un autre représentant un milieu rural isolé, enfin un dernier relevant d'un pôle rural). Un même questionnaire constitué de dix-neuf problèmes ayant été proposé aux élèves de ces établissements, notre objectif est d'analyser finement l'incidence de la position géographique sur la structure des réussites et des échecs ainsi que sur les niveaux de conceptualisation qui en découlent.

Le traitement des données par une analyse factorielle des correspondances et par une classification ascendante hiérarchique permet de mettre en évidence des classes de problèmes et de sous-groupes d'élèves. L'objet de notre recherche concerne à la fois la composition de ces différents groupes ainsi que leur répartition au sein des différents collèges.

Ce travail résulte de la rencontre de deux problématiques bien distinctes. La première est issue essentiellement d'une série de recherches menées au collège (Levain, 1996, 1997). Elle analyse, sur l'ensemble de ce cycle, les compétences des élèves à résoudre une série de problèmes d'agrandissement et d'échelle. Ces problèmes relèvent du champ conceptuel2 de la proportionnalité. Le choix des situations d'agrandissement et d'échelle a semblé bien adapté à l'objet d'étude et s'est imposé pour tout un ensemble de raisons. En effet, les situations d'agrandissement ou de réduction de figures et d'objets, la lecture de plan, ainsi que la distinction entre carte et territoire renvoient à des pratiques sociales d'usage courant (notice d'agencement d'une maquette, choix d'un itinéraire, orientation, calcul du kilométrage, lecture d'un GPS, etc.). Bien que n'étant pas un concept mathématique au sens strict3 mais plutôt transdisciplinaire, l'échelle est à la fois un outil permettant de résoudre des problèmes et un objet de savoir socialement organisé et culturellement reconnu4 (Douady, 1986). Ces mêmes problèmes peuvent également s'appréhender à partir de plusieurs cadres5 : géométrique, arithmétique, numérique ou algébrique (Douady, 1986).

Ce travail a notamment permis de catégoriser plusieurs profils cognitifs distincts correspondant à différents niveaux de conceptualisation des situations d'agrandissement et d'échelle. La seconde perspective renvoie à un ensemble de recherches menées principalement dans le cadre de l'Observatoire de l'école rurale (OER)6. On y analyse les trajectoires des élèves en fonction de la position géographique des établissements. Les élèves des écoles rurales, souvent issus de classes à plusieurs niveaux, se caractérisent aux évaluations institutionnelles par des résultats équivalents, voire légèrement supérieurs, à leurs camarades des écoles urbaines ou périurbaines à la fin du cycle primaire. Ces "bons" résultats auront néanmoins tendance à se dégrader au collège, notamment pour les garçons (taux de redoublement plus important, sorties plus fréquentes du système éducatif, orientation vers des cursus courts en fin de troisième). La question de cette relative dégradation des performances est complexe. Elle fait bien évidemment intervenir, comme le souligne Yves Alpe (2005), différents niveaux d'analyse (spécificité des collèges, composition sociologique des espaces ruraux, attitude face à la mobilité, souhait professionnel, niveau d'aspiration, d'expectation, estime de soi, etc.).

Nous étudions les résultats d'un ensemble conséquent d'élèves de différents collèges appartenant à des zones géographiques bien déterminées. Pour ce faire, nous nous appuyons sur une typologie prenant en compte le taux d'actifs travaillant dans les pôles urbains7 (Alpe et al., 2007) qui permet de catégoriser quatre zones distinctes :

  • le pôle urbain (unité urbaine de 5 000 emplois ou plus) qui n'est pas situé dans la couronne périurbaine d'un autre pôle ;
  • le milieu rural sous faible influence urbaine dont 20 à 40 % de la population travaillent dans un pôle urbain ;
  • le milieu rural isolé dont moins de 20 % de la population travaille dans un pôle urbain ;
  • le pôle rural renvoie à une commune offrant de 2000 à 5 000 emplois.

PRESENTATION DES ITEMS DU QUESTIONNAIRE

Le questionnaire8 se compose de dix-neuf problèmes partitionnés en deux grandes catégories. Les huit premiers problèmes traitent des notions d'agrandissement ou de réduction d'objets ou de figures. Les onze suivants abordent directement le concept d'échelle.

1- Les problèmes d'agrandissement ou de réduction.

Le premier problème nécessite de reconnaître un agrandissement et une réduction d'une figure géométrique.

Les rapports en jeu sont ici très simples. Ce premier item constitue essentiellement une introduction à notre questionnaire.

À l'instar de l'item n° 1, les problèmes 2 à 5 traduisent une situation d'agrandissement de figure. Il s'agit à chaque fois de déterminer la largeur du rectangle agrandi connaissant sa longueur ainsi que les deux dimensions du rectangle d'origine.

Comme précisé dans le tableau n° 1, ces problèmes nous permettent de combiner le type de rapport utilisé (interne ou externe) avec le degré de difficulté de ce rapport (simple ou complexe) de la manière suivante :

ProblèmesRapport interneRapport externe
n° 2simple : 1/2simple : 2 janvier
n° 3complexe : 3 maisimple : 2 janvier
n° 4simple : 1/2complexe : 5 mars
n° 5complexe : 3 maicomplexe : 9 mars

Tableau n° 1 : type et difficulté des rapports.

Le problème n° 6 est un problème de recherche d'une quatrième proportionnelle qui induit souvent, de par la simplicité des nombres, une procédure additive erronée :

Les problèmes n° 7 et 8 traduisent respectivement une situation d'agrandissement et une de réduction.

Les rapports externes et internes sont identiques d'un problème à l'autre et respectivement égaux à 25 et 1,5.

2- Les problèmes d'échelle :

Dans la deuxième partie de notre questionnaire, nous distinguons les problèmes n° 9, 10, 11 et 12 qui portent sur le calcul de l'échelle ;

- les n° 15 et 16 qui renvoient au calcul d'une dimension du représentant, c'est-à-dire du plan ou de la carte connaissant la transformation ainsi que la dimension correspondante du représenté (c'est-à-dire sur le terrain) ;

- enfin, les items n° 17, 18 et 19 qui nécessitent de calculer une dimension du représenté (calcul de l'image réciproque par la transformation). Nous avons retenu pour élaborer ces différenciations quatre principaux types de présentation d'une échelle (Bodin, 1989).

L'échelle de type 1 qui correspond, dans notre épreuve, à l'utilisation explicite du terme "échelle" traduit l'écriture fractionnaire de type 1/n. C'est ce qu'il convient par exemple de calculer aux items n° 9, 10 et 11.

L'échelle de type 2 prend la forme d'une indication du type "2 cm pour 1 km" (problème n° 10).

L'échelle de type 3, comme pour l'item 11, renvoie à une représentation du type.

L'échelle de type 4, dans laquelle l'énoncé comprend explicitement une formulation du type : "par quel nombre faut-il multiplier cette hauteur pour...", prend l'aspect "outil" du concept qui est privilégié (comme au problème n° 12).

Les deux problèmes n° 13 et 14 sont particulièrement complexes. Ils nécessitent de mettre en oeuvre des connaissances et de contrôler un nombre important d'informations qui relèvent pratiquement d'un niveau d'expertise du domaine. Il s'agit en effet de calculer une échelle, de type 1 pour le n° 13 et de type 4 pour le n° 14, qui maximise la représentation (taille du plan) dans les limites d'une feuille de format 21 par 29,7 cm.

Les problèmes n° 15 et 16 renvoient tous deux au calcul d'une dimension sur le plan ou la carte.

Le problème n° 15 fait appel à de petites valeurs numériques (il n'est pas forcément utile de convertir 50 m en centimètres), le n° 16 à des valeurs plus grandes (la conversion en centimètres peut sembler ici plus fonctionnelle).

Les trois problèmes n° 17, 18 et 19 impliquent le calcul d'une dimension du représenté (calcul de l'image par la transformation). Dans le n° 17, l'échelle est de type 3. Dans le problème n° 18, elle est de type 1.

PRESENTATION DE L'EXPERIENCE

Nous avons soumis les dix-neuf items de notre questionnaire à l'ensemble des élèves de quatre collèges représentant chacun une zone géographique (pôle urbain pour le premier, pôle rural pour le second, milieu rural sous faible influence urbaine pour le troisième et enfin, milieu rural isolé pour le dernier) soit 1 223 sujets en tout. Nous avons sélectionné des collèges de tailles comparables soit environ 300 élèves par établissement répartis en 12 classes (quatre par niveau). Les quatre collèges se caractérisent par des niveaux de réussite assez proche des évaluations institutionnelles en sixième ; les équipes professorales semblent également assez comparables et stables.

Les consignes de passation sont standardisées et transmises par écrit à chaque professeur ; la passation se déroule pendant les cours de mathématique. Chaque élève est invité à traiter les problèmes proposés dans l'ordre séquentiel du questionnaire. Les calculatrices sont systématiquement utilisées. La consigne invite chacun à ne pas se bloquer sur les problèmes qu'il juge insolubles. La passation dure environ une heure. Elle s'est déroulée dans le courant des mois de mai et de juin 2007. Les 23 237 problèmes sont corrigés et codés de manière binaire dans un tableau booléen dans lequel chaque colonne représente un problème et chaque ligne les résultats d'un élève. Nos données sont traitées avec le logiciel "Anaconda" (développé par le laboratoire MTI@SHS de l'université de Franche-Comté) à partir de deux approches complémentaires : une analyse factorielle des correspondances (AFC) ainsi qu'une classification ascendante hiérarchique (Benzecri, 1973) qui produit, à partir de calculs algorithmiques, des classes qui permettent de grouper et ranger les objets à décrire. Cette classification porte sur les mêmes tableaux de données que l'AFC, permettant ainsi de compléter les analyses de celle-ci.

ANALYSE DES RESULTATS

Le traitement statistique des données recueillies nous permet de distinguer six groupes spécifiques qui traduisent chacun une proximité relative entre des ensembles de sujets et certains sous-ensembles d'items. Dit autrement, les groupes obtenus agrègent en termes de distance des sous-ensembles d'élèves avec des catégories de problèmes qu'ils ont globalement réussis ou non. Au-delà des réussites et des échecs électifs de la population étudiée, ces six groupes renvoient probablement à différents profils cognitifs qu'il conviendrait maintenant de spécifier davantage. C'est en ce sens que nous avons calculé dans le tableau n° 1 les pourcentages de réussite pour chaque groupe d'élèves aux différents sous-ensembles de problèmes qui contribuent à les différencier.

Tableau n° 1 : pourcentages de réussite par groupe aux différents problèmes.

Problèmesn° 1n° 2 & 3n° 4, 5, 6,
7, 8
n° 12 & 17n° 9, 10,11,
13, 14
n° 15,16,
18, 19
Ensemble
des
problèmes
1° groupe N = 19437 %97 %000012 %
2° groupe N = 22943 %97 %20 %7 %0021 %
3° groupe N = 28360 %97 %76 %30 %08 %38 %
4° groupe N = 23857 %99 %36 %46 %2 %33 %35 %
5° groupe N = 16656 %98 %64 %31 %33 %13 %45 %
6° groupe N = 10476 %100 %68 %64 %46 %64 %65 %

Le premier groupe se compose d'un peu moins de deux cents élèves (16 % du total) qui réussissent très peu de problèmes (12 % des items) à l'exception des trois problèmes d'agrandissement les plus simples (n° 1, 2 et 3). Il est composé d'élèves assez jeunes (70 % sont en sixième ou cinquième). Bien identifié dans la littérature sur la proportionnalité (Hart, 1981 ; Nesher, 1988, etc.), il est composé de sujets exclusivement "additifs" qui sont en échec massif pour traiter les situations de proportionnalité même les plus simples.

Le deuxième groupe comprend 229 élèves (19 % de notre population). Il est composé de presque 40 % d'élèves de quatrième et de troisième. Ce groupe reste proche du précédent et se compose de sujets qui traitent majoritairement les situations de proportionnalité avec des procédures additives ; ils réussissent environ un problème d'agrandissement sur cinq (tableau n° 1) tout en échouant systématiquement à l'ensemble des items impliquant une échelle présentée sous sa forme fractionnaire.

Le troisième groupe est numériquement le plus important (283 sujets, plus de 23 % du total). Il est globalement plus âgé, puisqu'il compte environ 60 % d'élèves des classes de quatrième et troisième. De manière assez systématique, les sujets de ce groupe réussissent largement les problèmes d'agrandissement les plus complexes de type recherche d'une quatrième proportionnelle (76 % de réussite aux problèmes d'agrandissement) et échouent tout aussi largement à l'ensemble des problèmes d'échelle. Ce constat peut sembler surprenant dans la mesure où ces élèves privilégient très largement le calcul d'un rapport externe dans les problèmes d'agrandissement. Nos données soulignent néanmoins que ces élèves rencontrent tout un ensemble de difficultés dans le traitement des situations d'échelle : objectivation du concept (passage d'un concept outil à un concept objet), harmonisation des unités, écriture fractionnaire, etc.

Le quatrième groupe caractérise bien la multiplicité des trajectoires d'apprentissage. Il se caractérise en effet par un profil assez atypique et des résultats globalement faibles :

  • une assez faible réussite aux problèmes d'agrandissement (36 %) ;
  • un succès du même ordre vis-à-vis des problèmes nécessitant le calcul d'une dimension du terrain ou du plan connaissant l'échelle ;
  • un échec massif aux items nécessitant le calcul de l'échelle (sauf le n° 12, formulé dans les termes d'une situation d'agrandissement10).

Le cinquième groupe représente un peu moins de 14 % de notre population. Il est équilibré par l'âge puisque composé pour moitié d'élèves appartenant aux classes de sixième et de cinquième. Les sujets qui le composent se caractérisent par une réussite de 64 % aux problèmes d'agrandissement (tableau n° 1) et de 33 % aux items nécessitant le calcul d'une échelle fractionnaire. Si on exclut les problèmes n° 13 et 14, particulièrement complexes, la réussite passe à 50 % en ce qui concerne cette catégorie d'items. Par contre ces mêmes élèves maîtrisent mal l'application d'une échelle au calcul d'une dimension du plan, de la carte ou du terrain (13 %). Ce groupe nous paraît très intéressant car il atteste que l'objectivation d'une échelle11 peut être en bonne voie d'acquisition assez précocement. Si la maîtrise des situations d'agrandissement semblait se développer de manière à peu près linéaire avec l'âge, il en va tout autrement de la construction du concept d'échelle. Comme le précédent, ce groupe illustre bien une multiplicité des trajectoires d'acquisition des notions en jeu.

Enfin le sixième groupe est à la fois numériquement le plus petit (104 élèves, soit un peu moins de 9 % du total) et le plus âgé (70 % des sujets sont en quatrième ou troisième). Les sujets de ce groupe, généralement considérés comme de "bons élèves", ont un niveau de réussite élevé à l'ensemble des catégories de problèmes proposées. Ils sont, pour la plupart, en voie de développer un niveau d'expertise du domaine.

LOCALISATION DU COLLEGE ET STRUCTURES DES REPONSES

Au niveau global tout d'abord, le collège du pôle rural obtient le meilleur score (36 %), suivi du collège urbain (34 %). Les deux établissements ruraux (sous faible influence urbaine et rural isolé) ferment la marche avec respectivement 32 et 31 % de réussite.

Pour améliorer la lisibilité de nos résultats, nous avons, dans un premier temps, regroupé dans le tableau n° 2 les groupes un et deux qui représentent les élèves qui échouent soit systématiquement, soit massivement en utilisant fréquemment des procédures additives pour résoudre les situations de proportionnalité. Nous avons également, dans ce tableau, effectué une concaténation entre les groupes cinq et six qui caractérisent tous deux une assez bonne réussite aux items nécessitant le calcul d'une échelle fractionnaire.

Tableau n° 2 : répartitions des élèves dans les groupes en fonction de la localisation du collège.

CollègesGroupe 1 et 2Groupe 3Groupe 4Groupe 5 et 6
pôle urbain31 %30 %19 %19 %
milieu rural isolé38 %18 %24 %19 %
milieu rural. sfiu39 %26 %15 %19 %
pôle rural30 %19 %19 %31 %

En ce qui concerne les élèves en grande difficulté au regard de la tâche proposée (groupe un et deux), nous constatons une nette dichotomie entre deux catégories de zone géographique. D'une part les deux établissements de pôle urbain et rural qui regroupent 30 % de ces sujets ; d'autre part les deux collèges de milieu rural isolé et de milieu rural sous faible influence urbaine qui en rassemblent près de 40 %. Nous constatons également une surreprésentation (respectivement 30 et 26 %) des élèves du groupe trois12 à la fois dans le collège du pôle urbain et celui du milieu rural sous faible influence urbaine. Enfin nous observons une proportion bien plus forte (31 % au lieu de 19 %) des élèves capables de traiter les situations d'échelle dans le collège du pôle rural.

Le tableau n° 3 illustre, cette fois de manière exhaustive, la répartition des élèves dans les six groupes issus de notre traitement statistique en fonction de la localisation du collège.

Tableau n° 3 : répartitions des élèves dans les groupes en fonction de la localisation du collège

CollègesGroupe 1Groupe 2Groupe 3Groupe 4Groupe 5Groupe 6
Pôle
urbain
11 %20 %30 %19 %13 %6 %
Milieu
rural isolé
18 %20 %18 %24 %11 %8 %
Milieu
rural. sfiu
19 %20 %26 %15 %12 %7 %
Pôle rural15 %15 %19 %19 %18 %13 %

Nous constatons également une répartition plutôt hétérogène des différents groupes, c'est-à-dire des niveaux de conceptualisation et de traitement, en fonction de la répartition géographique des établissements, alors même que nous avions choisi des établissements de tailles comparables et de niveaux proches aux évaluations sixièmes en mathématiques.

Au test du c2 d'indépendance, nous sommes amenés à rejeter l'hypothèse nulle selon laquelle les deux variables : "localisation géographique" et "groupe d'appartenance" ne seraient pas liées au seuil de P < 0,001. Notre hypothèse est donc bien validée et ce avec un bon seuil de signification.

Nos résultats valident assez nettement la liaison entre, d'une part la localisation géographique des collèges et, d'autre part, la répartition des différents niveaux de conceptualisation mis en évidence. Ils soulignent assez nettement une plus forte proportion d'élèves en grande difficulté dans les établissements relevant du rural isolé et sous faible influence urbaine. Nous relevons également un profil assez spécifique du collège du pôle urbain qui comprend un grand nombre de sujets qui, tout en maîtrisant bien les situations d'agrandissement, échouent dans la conceptualisation de la notion d'échelle. Enfin, la plus forte proportion des élèves capables de traiter au mieux les situations d'échelle se retrouve dans le collège du pôle rural alors même que ce collège intègre un bon nombre d'élèves d'origine étrangère n'ayant pas forcément un bon niveau de langue en entrée.

Références bibliographiques

  • ALPE, Y., FAUGUET, J-L ET POIREY, J-L. (2007), Contextes géographiques et pédagogiques : stratégies d'ouvertures des écoles et trajectoires scolaires des élèves, Actes du colloque : Les effets des pratiques enseignantes sur les apprentissages des élèves, Besançon, mars 2007.
  • ALPE, Y., (2005), "Le système éducatif en milieu rural : des débats anciens, des problématiques actuelles". L'enseignement scolaire en milieu rural et montagnard, tome III, p. 21-30. PUFC.
  • BENZECRI, J. P., (1973), L'Analyse des Données, tome I : La Taxonomie, tome II : L'Analyse des correspondances, Dunod, Paris.
  • DOUADY, R., (1986). "Jeux de cadres et dialectique outil-objet". Recherches en didactique des mathématiques, 7.2, 5-31. La pensée sauvage.
  • HART, K.M., (1981). Children Understanding of Mathematics, J. Murray, London.
  • LEVAIN, J.P., (1996). Développement cognitif et acquisition des concepts de rapport et de proportion. Revue Européenne de Psychologie Appliquée, Vol. 46, 131-138.
  • LEVAIN, J.P., (1997). Faire des maths autrement développement cognitif et proportionnalité. L'Harmattan,Paris.
  • LEVAIN, J.P. (2006), Territoires et résolution de problèmes au collège, in Alpe Y, Champollion P, Poirey J.-L (ed.), L'enseignement scolaire dans les milieux ruraux et montagnards Tome IV : Parcours scolaires et constructions de projets au collège. Besançon : Presses Universitaires de Franche-Comté.
  • NESHER, P., (1988). Multiplicative school word problems : theoritical approaches and empirical findings, in Hiebert, J. and Behr, M (Ed.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades, Hillsdale, N.J: Erlbaum/Reston, VA: National Concil of Teachers of Mathematics, 19-40.

(1) Sans toutefois relever d'une catégorisation "ambition réussite".

(2) La théorie des champs conceptuels (construite par Gérard Vergnaud) se situe à l'interface de la psychologie cognitive, de la psychologie sociale et de la didactique. Elle permet l'étude des représentations et des conceptualisations construites par l'enfant sur une large période. La proportionnalité fait partie du champ conceptuel des structures multiplicatives ; c'est-à-dire : "l'ensemble des situations dont le traitement implique une ou plusieurs multiplications et divisions et l'ensemble des concepts et théorèmes qui permettent d'analyser ces situations ", (Vergnaud, G., Catégories logiques et invariants opératoires, Archives de Psychologie, 58, p. 145-149, 1990).

(3) Il ne peut en effet se définir exclusivement en référence à d'autres objets mathématiques.

(4) "Ainsi, nous disons qu'un concept est outil lorsque nous focalisons notre intérêt sur l'usage qui en est fait pour résoudre un problème. Un même outil peut être adapté à plusieurs problèmes, plusieurs outils peuvent être adaptés à un même problème. Par objet, nous entendons l'objet culturel ayant sa place dans un édifice plus large qui est le savoir savant à un moment donné, reconnu socialement." (Douady, R, 1986, p. 9).

(5) "Un cadre est constitué des objets d'une branche des mathématiques, des relations entre les objets, de leurs formulations éventuellement diverses et des images mentales associées à ces objets et ces relations." (Douady, 1986, p. 11).

(6) L'Observatoire de l'école rurale est un programme de recherche mené avec cinq IUFM dans six départements (Ain, Ardèche, Haute-Saône, Haute-Loire, Alpes-de-Haute-Provence, Drôme). Son projet est d'analyser les parcours des élèves sur la durée (et pas d'en donner une photographie à un moment donné). Des élèves de CM2 seront suivis jusqu'à la fin de la seconde, donc au moment où l'orientation professionnelle se dessine.

(7) Zonage des aires urbaines, INSEE / INRA, 1998.

(8) Le questionnaire se présente sous la forme d'un livret (format A4, un problème par page). Les problèmes présentés sont des réduction des originaux.

(10) "Par quel nombre faut-il multiplier la hauteur de cette petite boîte pour obtenir la hauteur de l'immeuble ?"

(11) Avec la maîtrise de l'écriture fractionnaire et l'harmonisation des unités qui en dépendent.

(12) Rappelons que ces élèves réussissent massivement les items d'agrandissement tout en échouant très largement à ceux formalisés autour de l'échelle.

Diversité, n°155, page 162 (12/2008)

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