Le réseau Canopé Le portail educ-revues
 
Cahiers philosophiques

Les Introuvables des Cahiers

La géométrie selon Port-Royal

Présentation de Bernard Sève.

Le texte que nous présentons n'est pas signé, pas plus que ne l'est l'ouvrage auquel il introduit1. C'est une Préface aux Nouveaux Éléments de géométrie qu'Antoine Arnauld publie en 1667, publication dont les circonstances et les raisons sont brièvement indiquées dans le texte lui-même. Cette Préface anonyme est due à Pierre Nicole, co-auteur, avec Antoine Arnauld précisément, de la Logique ou l'Art de penser (connue de nos jours sous le nom de Logique de Port-Royal) à laquelle notre texte fait explicitement allusion. Pierre Nicole semble avoir eu du goût, voire du talent, pour le genre littéraire "préface", puisqu'on lui doit aussi les deux préfaces successives de la Logique2. À bien des égards, notre "préface" reprend des thèmes déjà développés dans la Logique, ce qui lui donne une fonction d'articulation entre les deux ouvrages. Ces thèmes sont : l'inutilité foncière de la géométrie (les seules choses réellement utiles sont la morale et la réflexion religieuse), son utilité méthodologique (elle apprend à l'esprit à raisonner sans référence au corps), la nécessité d'en traiter selon l'ordre naturel (lequel permet de ramener l'esprit à lui-même), le souci de déterminer les différents degrés de rigueur selon les domaines considérés (la géométrie nous apprend à ne pas exiger en toute chose, notamment en matière religieuse, le type de rigueur, d'ailleurs limitée, dont elle nous donne l'évident exemple). Thèmes dont l'unité est éthico-religieuse : la légitimité de la géométrie, ou plutôt de son étude, ne peut être assurée que dans une perspective centrée sur le souci du salut individuel.

La géométrie comme exercice de l'esprit

L'équilibre de ces différents thèmes est toutefois, dans notre texte, particulièrement étudié. Le paragraphe 20 est, à cet égard, central. "Un des plus grands esprits de ce siècle, et des plus célèbres par l'ouverture admirable qu'il avait pour les mathématiques avait fait en quelques jours un essai d'Éléments de géométrie et comme il n'avait pas cette vue de l'ordre, il s'était contenté de changer plusieurs des démonstrations d'Euclide pour en substituer d'autres plus nettes et plus naturelles." C'est Pascal qui est ici évoqué, dans un geste ambigu où l'éloge ("plus nettes et plus naturelles") est limité par de fortes restrictions (faute d'attention à la question de l'ordre, Pascal "se contente" de changer "plusieurs" démonstrations d'Euclide : ravaudage local du système euclidien, rien de plus). Ajoutons que Pascal, plus sévère sans doute que nos auteurs pour une discipline où il brillait plus qu'eux, n'aurait peut-être pas plus approuvé le projet de ces Nouveaux Éléments qu'il n'avait approuvé le projet de la Logique3. S'il est vrai que les Nouveaux Éléments furent composés dès 16604, Pascal étant encore en vie, il est possible qu'Arnauld et Nicole aient souhaité justifier fortement l'écriture d'un ouvrage aussi peu "utile" qu'une Géométrie. Ainsi s'expliquerait le double discours que tient Nicole sur l'écriture de l'ouvrage : il insiste d'un côté sur l'importance de la "méthode" et de "l'ordre" que Pascal aurait méconnue (le reproche paraît surprenant), ce qui justifie la conception d'un nouveau traité ; mais il insiste tout autant sur la dimension hasardeuse et même anecdotique de la rédaction de ce traité (Arnauld est sollicité par ses amis, il profite d'une indisposition pour écrire le livre comme en se jouant, enfin cédant aux instances du public, il se résout à le publier), ce qui atténue la responsabilité morale d'avoir travaillé à un ouvrage sans lien direct avec les problèmes religieux et la situation difficile où se trouvent, dans cette décennie 1660-1670, les "disciples de saint Augustin"5.

Le lien de la Logique de 1662 aux Nouveaux Éléments de 1660-1667, tel que la Préface permet de le penser, semble donc enraciné dans l'exigence religieuse des deux Messieurs de Port-Royal. La logique est destinée à former le jugement, et à apprendre à raisonner méthodiquement (rappelons que la grande innovation structurale de la Logique est la présence, après les trois parties traditionnelles consacrées à l'idée, au jugement, au raisonnement, d'une quatrième partie novatrice consacrée à la méthode). La géométrie contribue elle aussi à former la pensée abstraite et pour ainsi dire désincarnée. Au risque d'une légère surinterprétation "janséniste" de ce traité, on sera attentif au fait que les quatre premières parties des Nouveaux Éléments sont purement algébriques, dépourvues donc de l'appui que les lignes et figures offrent à l'imagination, laquelle est liée au corps ; et la Préface précise que la méthode algébrique est "la plus féconde et la plus géométrique " (paragraphe 25, nous soulignons) ; c'est une indication précieuse pour saisir le sens exact en lequel Arnauld et Nicole entendent la démarche géométrique : non pas d'abord un raisonnement sur des figures, mais un raisonnement de raison pure, si l'on ose dire.

L'ordre naturel est seul éclairant

S'en tenir à l'arrière-fond religieux du texte serait cependant insuffisant. La Préface met en place un dispositif complexe dans lequel prennent place les grands géomètres que sont Euclide, Descartes, Pascal, Arnauld enfin. Discrètement, le grand Arnauld se trouve placé sur le même plan que ses trois illustres devanciers (malgré les précautions rhétoriques du paragraphe 5). Descartes est présent par la notion d'évidence et la dénonciation de la confusion (paragraphe 11). Pascal, nous venons d'en parler. Euclide, enfin, nommé avec sévérité pour ses "défauts" (paragraphe 23) et sa "confusion" (paragraphe 19).

Parler de "nouveaux" éléments, c'est dire assez que les anciens (les Éléments d'Euclide) méritaient d'être remplacés. Les défauts de l'appareil formel euclidien étaient en discussion depuis Pierre de la Ramée au moins, et la Logique de Port-Royal apportait déjà sa contribution à cette critique. Le principal reproche qu'Arnauld fait à Euclide, c'est de manquer d'ordre et de méthode. L'ordre, pour Arnauld, c'est l'ordre naturel. Il y a ordre naturel quand les démonstrations "naissent d'elles-mêmes des principes" (paragraphe 23). Cette formule est remarquable. Il y a quelque chose d'organique dans l'ordre selon Arnauld, avec les valeurs qui s'attachent habituellement au développement organique : spontanéité, rapidité, sûreté, facilité même. À l'opposé, l'ordre artificiel d'Euclide serait marqué par la gaucherie, la lenteur, la maladresse. Et surtout, l'ordre naturel seul est à la fois convaincant (il dit la vérité) et éclairant (il dit le pourquoi de la vérité), seul il donne à l'esprit une pleine satisfaction. Cette conception est décisive : elle condamne comme non naturels (et donc mal ordonnés) des procédés de démonstration relevant de la ruse ou de l'ingéniosité du géomètre, et non de la nature du problème considéré. C'est dans cette conception de l'ordre naturel que s'enracine la condamnation arnaldienne de la démonstration par l'absurde6, condamnation que l'on trouve déjà aux chapitres IX et X de la quatrième partie de la Logique : seules les preuves ostensives sont éclairantes, car seules elles montrent la voie par laquelle le résultat s'impose ; les preuves apagogiques convainquent sans éclairer7. Ce thème de l'ordre naturel pensé comme "lumière" et de la démonstration qui éclaire est central dans les paragraphes 16 et 19 notamment. C'est l'éloge de "l'ordre naturel" qu'il faut restituer derrière l'éloge, apparemment hyperbolique, d'un Arnauld écrivant les Nouveaux Éléments de géométrie sans l'aide d'aucun livre : car "l'ordre le conduisait tellement, qu'il ne croyait pas pouvoir rien oublier de considérable" (paragraphe 23).

La Conclusion des Nouveaux Éléments réaffirmera l'importance de l'ordre naturel. Cette insistance sur l'ordre naturel et sa puissance d'éclaircissement exprime enfin une décision sur le sens de la géométrie. Soumettre la démarche géométrique au projet de convaincre et d'éclairer autrui, n'est-ce pas méconnaître la valeur proprement intellectuelle d'une théorie déductive, et l'intérêt d'en analyser les propriétés formelles ? Mais cette approche formelle des Éléments (d'Euclide) serait, pour les Messieurs de Port-Royal, vaine curiosité et coupable libido sciendi8. La géométrie n'est qu'un exercice pour guérir l'esprit, quoiqu'elle soit pour cela moins efficace que "la grâce et les exercices de piété" (paragraphe 8).

Que nous dit donc cette préface anonyme présentant et louant un auteur non moins anonyme (quoique suffisamment reconnaissable pour le lecteur averti), sinon que le véritable auteur des Nouveaux Éléments de géométrie n'est pas Antoine Arnauld, mais l'esprit humain lui-même suivant son ordre naturel voulu par Dieu ?

Préface des nouveaux éléments de géométrie d'Arnauld(*)

Anonyme

Quoique j'aie quelque sorte de liberté de parler avantageusement de ces Nouveaux Éléments de Géométrie, puisque je n'y ai point d'autre part que celle de les avoir tirés des mains de l'auteur pour les donner au public, mon dessein n'est pas néanmoins d'en faire voir ici l'excellence, ni de les proposer au monde comme un ouvrage fort considérable. Je serais plutôt porté à diminuer l'idée trop haute que quelques personnes en pouvaient avoir, étant très persuadé qu'il est beaucoup plus dangereux d'estimer trop ces sortes de choses, que de ne les pas estimer assez.

La nature de toutes les sciences humaines, et principalement de celles qui entrent peu dans le commerce de la vie, est d'être mêlées d'utilités et d'inutilités : et je ne sais si l'on ne peut point dire qu'elles sont toutes inutiles en elles-mêmes, et qu'elles devraient passer pour un amusement entièrement vain et indigne de personnes sages, si elles ne pouvaient servir d'instruments et de préparations à d'autres connaissances vraiment utiles. Ainsi ceux qui s'y attachent pour elles-mêmes comme à quelque chose de grand et de relevé n'en connaissent pas le vrai usage, et cette ignorance est en eux un beaucoup plus grand défaut que s'ils ignoraient absolument ces sciences.

Ce n'est pas un grand mal que de n'être pas géomètre ; mais c'en est un considérable que de croire que la géométrie est une chose fort estimable, et de s'estimer soi-même pour s'être rempli la tête de lignes, d'angles, de cercles, de proportions. C'est une ignorance très blâmable que de ne pas savoir, que toutes ces spéculations stériles ne contribuent rien à nous rendre heureux ; qu'elles ne soulagent point nos misères ; qu'elles ne guérissent point nos maux ; qu'elles ne nous peuvent donner aucun contentement réel et solide ; que l'homme n'est point fait pour cela, et que bien loin que ces sciences lui donnent sujet de s'élever en lui-même, elles sont au contraire des preuves de la bassesse de son esprit ; puisqu'il est si vain et si vide de vrai bien, qu'il est capable de s'occuper tout entier à des choses si vaines et si inutiles.

Cependant on ne voit que trop par expérience, que ces sortes de connaissances sont d'ordinaire jointes à l'ignorance de leur prix et de leur usage. On les recherche pour elles-mêmes ; on s'y applique comme à des choses fort importantes ; on en fait sa principale profession ; on se glorifie des découvertes que l'on y a fait ; on croit fort obliger le monde si l'on veut bien lui en faire part ; et l'on s'imagine mériter par là un rang fort considérable entre les savants et les grands esprits.

Si cet ouvrage n'a rien de ce qui mérite la réputation de grand géomètre au jugement de ces personnes, en quoi il est très juste de les en croire ; au moins on peut dire avec vérité que celui qui l'a composé est exempt du défaut de la souhaiter, et que quoiqu'il estime beaucoup le génie de plusieurs personnes qui se mêlent de cette science, il n'a qu'une estime très médiocre pour la géométrie en elle-même. Néanmoins comme il est impossible de se passer absolument d'une science qui sert de fondement à tant d'arts nécessaires à la vie humaine, il peut y avoir quelque utilité à montrer aux hommes de quelle sorte ils en doivent user, et de leur rendre cette étude la plus avantageuse qu'il est possible.

C'est l'unique vue qu'a eue l'auteur de ces nouveaux éléments. Il n'a pas tant considéré la géométrie, que l'usage qu'on en pouvait faire ; et il a cru qu'en évitant ces défauts qui n'en sont pas inséparables, on s'en pouvait très utilement servir pour former les jeunes gens, non seulement à la justesse de l'esprit ; mais même en quelque sorte à la piété et au règlement des moeurs.

Pour comprendre les avantages qu'on en peut tirer, il faut considérer que dans les premières années de l'enfance l'âme de l'homme est comme toute plongée et toute ensevelie dans les sens, et qu'elle n'a que des perceptions obscures et confuses des objets qui font impression sur son corps. Elle sort à la vérité de cet état à mesure que ses organes se dégagent et se fortifient par l'âge, et elle acquiert quelque liberté de former des pensées plus claires et plus distinctes, et même de les tirer les unes des autres, ce que l'on appelle raisonnement. Mais l'amour des choses sensibles et extérieures lui étant devenu comme naturel, et par la corruption de son origine et par l'accoutumance qu'elle a contractée durant l'enfance, les choses extérieures sont toujours le principal objet de son plaisir et de sa pente. Ainsi non seulement les jeunes gens ne se plaisent guère que dans les choses sensuelles, mais même entre les personnes avancées en âge il y en a peu qui soient capables de trouver du goût dans une vérité purement spirituelle, et où les sens n'aient aucune part. Toute leur application est toujours aux manières agréables ; ils n'ont de l'intelligence et de la délicatesse que pour cela, ils ne se servent de leur esprit que pour étudier l'agrément et l'art de plaire, par les choses qui flattent la concupiscence et les sens.

Il me serait aisé de montrer, que cette disposition d'esprit est non seulement un très grand défaut ; mais que c'est la source des plus grands désordres et des plus grands vices. Il est vrai qu'il n'y a que la grâce et les exercices de piété qui puissent la guérir véritablement : mais entre les exercices humains qui peuvent le plus servir à la diminuer, et à disposer même l'esprit à recevoir les vérités chrétiennes avec moins d'opposition et de dégoût, il semble qu'il n'y en ait guère de plus propre que l'étude de la géométrie. Car rien n'est plus capable de détacher l'âme de cette application aux sens, qu'une autre application à un objet qui n'a rien d'agréable selon les sens ; et c'est ce qui se rencontre parfaitement dans cette science. Elle n'a rien du tout qui puisse favoriser tant soit peu la pente de l'âme vers les sens ; son objet n'a aucune liaison avec la concupiscence ; elle est incapable d'éloquence et d'agrément dans le langage ; rien n'y excite les passions ; elle n'a rien du tout d'aimable que la vérité, et elle la présente à l'âme toute nue et détachée de tout ce que l'on aime le plus dans les autres choses.

Que si les vérités qu'elle propose ne sont pas fort utiles ni fort importantes, si l'on en demeurait là ; il est néanmoins très utile et très important de s'accoutumer à aimer la vérité, à la goûter, à en sentir la beauté. Et Dieu se sert souvent de cette disposition d'esprit, pour nous faire entrer dans l'amour et dans la pratique des vérités qui conduisent au salut, pour nous faire voir l'illusion de tout ce qui plaît dans les choses sensibles et extérieures, et pour nous rendre justes et équitables dans toute la conduite de notre vie ; cet esprit d'équité consistant principalement dans le discernement et dans l'amour de la vérité en toutes les affaires que nous traitons.

Mais la géométrie ne sert pas seulement à nous détacher des choses sensibles, et à inspirer le goût de la vérité ; elle nous apprend aussi à la reconnaître et à ne se laisser pas tromper par quantité de maximes obscures et incertaines, qui servent de principes aux faux raisonnements dont les discours des hommes sont tout remplis. Car si l'on y prend garde, ce qui nous jette ordinairement dans l'erreur et nous fait prendre le faux pour le vrai, n'est pas le défaut de la liaison des conséquences avec les principes en quoi consiste ce qu'on appelle la forme des arguments ; mais c'est l'obscurité des principes mêmes, qui n'étant pas exactement vrais, et n'étant pas aussi évidemment faux, présentent à l'esprit une lumière confuse où la vérité et la fausseté sont mêlées, ce qui cause à plusieurs une espèce d'éblouissement qui leur fait approuver ces principes sans les examiner davantage.

Il est vrai que la logique nous donne deux excellentes règles pour éviter cette illusion, qui sont de définir tous les mots équivoques, et de ne recevoir jamais que des principes clairs et certains. Mais ces règles ne suffisent pas pour nous garantir d'erreur. Premièrement, parce qu'on se trompe souvent dans la notion même de l'évidence, en prenant pour évident ce qui ne l'est pas. Et en second lieu, parce que quoi qu'on sache ces règles, on n'est pas toujours appliqué à les pratiquer. Il n'y a donc que la géométrie qui remédie en effet à l'un et à l'autre de ces défauts. Car d'une part en fournissant des principes vraiment clairs, elle nous donne le modèle de la clarté et de l'évidence pour discerner ceux qui l'ont de ceux qui ne l'ont pas : et de l'autre, comme elle ne se dispense jamais de l'observation de ces deux règles, elle accoutume l'esprit à les pratiquer, et à être toujours en garde contre les équivoques des mots et contre les principes confus, qui sont les deux sources les plus communes des mauvais raisonnements.

Il ne faut pas dissimuler néanmoins, que cette coutume même de rejeter tout ce qui n'est pas entièrement clair peut engager dans un défaut très considérable, qui est de vouloir pratiquer cette exactitude en toute sorte de matières, et de contredire tout ce qui n'est pas proposé avec l'évidence géométrique. Cependant il y a une infinité de choses dont on ne doit pas juger en cette manière, et qui ne peuvent pas être réduites à des démonstrations méthodiques. Et la raison en est, qu'elles ne dépendent pas d'un certain nombre de principes grossiers et certains, comme les vérités mathématiques ; mais d'un grand nombre de preuves et de circonstances qu'il faut que l'esprit voie tout d'un coup, et qui n'étant pas convaincantes séparément, ne laissent pas de persuader avec raison lorsqu'elles sont jointes et unies ensemble. La plupart des matières morales et humaines sont de ce nombre ; et il y a même des vérités de la religion qui se prouvent beaucoup mieux par la lumière de plusieurs principes qui s'entraident et se soutiennent les uns les autres, que par des raisonnements semblables aux démonstrations géométriques.

C'est donc sans doute un fort grand défaut que de ne faire pas distinction des matières, d'exiger par tout cette suite méthodique de propositions, que l'on voyait dans la géométrie ; de faire difficulté sur tout, et de croire avoir droit de rejeter absolument un principe, lorsqu'on juge qu'il peut recevoir quelque exception en quelque rencontre.

Mais si ce défaut est assez ordinaire à quelques géomètres, il ne naît pas néanmoins de la géométrie même. Cette science étant toute véritable ne peut pas autoriser une conduite qui n'est fondée que sur des principes d'erreur. Car il n'est pas vrai qu'un principe qui ne prouve pas absolument ne prouve rien ; et que ne prouvant pas tout seul, il ne prouve pas étant joint à d'autres. Il y a différents degrés de preuves. Il y en a dont on conclut la certitude, et d'autres dont on conclut l'apparence ; et de plusieurs apparences jointes ensemble on conclut quelquefois une certitude à laquelle tous les esprits raisonnables se doivent rendre. Il n'est pas absolument certain que l'on doive voir le soleil quelqu'un des jours de l'année qui vient, je le dois néanmoins croire ; et je serais ridicule d'en douter, quoi qu'il soit impossible de le démonter. La raison ne doit donc pas prétendre de démontrer géométriquement ces choses ; mais elle peut prouver géométriquement que c'est une sottise de ne les pas croire : et c'est en cette manière qu'on se peut servir de la géométrie même dans ces sortes de matières, pour faire voir plus clairement la force de la vraisemblance qui nous les doit faire croire.

Outre ces utilités que l'on peut tirer de la géométrie, on en peut encore remarquer deux autres qui ne sont pas moins considérables. Il y a des vérités importantes pour la conduite de la vie et pour le salut, qui ne laissent pas d'être difficiles à comprendre, et qui ont besoin d'une attention pénible ; Dieu ayant voulu, comme dit S. Augustin, que le pain de l'âme se gagnât avec quelque sorte de travail aussi bien que le pain du corps. Et il arrive de là que plusieurs personnes s'en rebutent par une certaine paresse, ou plutôt par une délicatesse d'esprit qui leur donne du dégoût de tout ce qui demande quelque effort et quelque sorte de contention. Or l'étude de la géométrie est encore un remède à ce défaut ; car en appliquant l'esprit à des vérités abstraites et difficiles, elle lui rend faciles toutes celles qui demandent moins d'application ; comme en accoutumant le corps à porter des fardeaux pesants, on sait qu'il ne sent presque plus le poids de ceux qui sont plus légers.

Non seulement elle ouvre l'esprit et le fortifie pour concevoir tout avec moins de peine ; mais elle fait aussi qu'il devient plus étendu et plus capable de comprendre plusieurs choses à la fois. Car les vérités géométriques ont cela de propre qu'elles dépendent d'un long enchaînement de principes qu'il faut suivre pour arriver à la conclusion ; et comme cette conclusion tire sa lumière de ces principes, il faut que l'esprit voie en même temps, et ce qui éclaire et ce qui est éclairé, ce qu'il ne peut faire sans s'étendre et sans porter sa vue plus loin que dans ses actions ordinaires.

Cette étendue d'esprit, qui paraît dans la géométrie est non seulement très utile pour tous les sujets qui ont besoin de raisonnement ; mais elle est aussi très admirable en elle même ; et il n'y a guère de qualité de notre âme qui en fasse mieux voir la grandeur, et qui détruise davantage les imaginations basses et grossières de ceux qui voudraient la faire passer pour une matière. Car le moyen de s'imaginer qu'un corps, c'est-à-dire un être où nous ne concevons qu'une étendue figurée et mobile, puisse pénétrer ce grand nombre de principes tout spirituels qu'il faut lier ensemble pour la preuve des propositions que la géométrie nous démontre, et qu'il porte même sa vue jusque dans l'infini pour en assurer ou en tirer plusieurs choses avec une certitude entière ? Elle nous fait voir par exemple, que la diagonale et le côté d'un carré n'ont nulle mesure commune, c'est-à-dire que l'esprit voit que dans l'infinité des parties de différente grandeur qu'on y peut choisir, il n'y en a aucune qui pusse mesurer exactement l'une et l'autre de ces deux lignes.

On peut dire que toutes les propositions géométriques sont de même infinies en étendue ; parce que l'on n'y conclut pas ce que l'on démontre d'une seule ligne, d'un seul angle, d'un seul cercle, d'un seul triangle, mais de toutes les lignes, de tous les angles, de tous les cercles, de tous les triangles ; et qu'ainsi l'esprit les renferme et les comprend tous en quelque sorte quelques infinis qu'ils soient. Or que tout cela se puisse faire par le bouleversement d'une matière, et qu'en la remuant elle devienne capable de comprendre des objets spirituels, et d'en comprendre même une infinité, c'est ce que personne ne saurait croire ni penser, pourvu qu'il veuille de bonne foi songer à ce qu'il dit.

Ce sont ces réflexions qui ont fait juger à l'auteur de ces Éléments, qu'on pouvait faire un bon usage de la géométrie ; mais ce n'est pas néanmoins ce qui l'a porté à travailler à en faire de nouveaux, puisqu'on peut tirer tous ces avantages des livres ordinaires qui en traitent. Ils portent tous à aimer la vérité ; ils apprennent à la discerner ; ils fortifient la raison ; ils étendent la vue de l'esprit, et ils donnent lieu d'admirer la grandeur de l'âme de l'homme et de reconnaître qu'elle ne peut être autre que spirituelle et immortelle. Ce qui lui a donc fait croire qu'il était utile de donner une nouvelle forme à cette science est, qu'étant persuadé que c'était une chose fort avantageuse de s'accoutumer à réduire ses pensées à un ordre naturel, cet ordre étant comme une lumière qui les éclaircit toutes les unes par les autres, il a toujours eu quelque peine de ce que les Éléments, d'Euclide étaient tellement confus et brouillés, que bien loin de pouvoir donner à l'esprit l'idée et le goût du véritable ordre, ils ne pouvaient au contraire que l'accoutumer au désordre et à la confusion.

Ce défaut lui paraissait considérable dans une science dont la principale utilité est de perfectionner la raison ; mais il n'eut pas pensé néanmoins à y remédier sans la rencontre que je vais dire qui l'y engagea insensiblement. Un des plus grands esprits de ce siècle, et des plus célèbres par l'ouverture admirable qu'il avait pour les mathématiques, avait fait en quelques jours un essai d'Éléments de géométrie et comme il n'avait pas cette vue de l'ordre, il s'était contenté de changer plusieurs des démonstrations d'Euclide pour en substituer d'autres plus nettes et plus naturelles. Ce petit ouvrage étant tombé entre les mains de celui qui a depuis composé ces éléments, il s'étonna qu'un si grand esprit n'eut pas été frappé de la confusion qu'il avait laissée pour ce qui est de la méthode, et cette pensée lui ouvrit en même temps une manière naturelle de disposer toute la géométrie, les démonstrations s'arrangèrent d'elles mêmes dans son esprit, et tout le corps de l'ouvrage que nous donnons maintenant au public se forma dans son idée.

Cela lui a fait dire en riant à quelques-uns de ses amis, que s'il avait le loisir il lui serait facile des faire des Éléments de géométrie mieux ordonnés que ceux que l'on lui avait montrés ; mais ce n'était encore qu'un projet en l'air qu'il avait peu d'espérance de pouvoir exécuter, quoique quelques personnes l'en priassent ; parce qu'il aurait fait scrupule d'y employer un temps où il aurait été en état de faire quelque autre chose.

Il est arrivé néanmoins depuis que diverses rencontres lui ont donné le loisir dont il avait besoin pour cela. Il fut une fois obligé par une indisposition de quitter ses occupations ordinaires, et il trouva son soulagement en se déchargeant d'une partie de ce qu'il avait dans l'esprit sur cette matière. Une autre fois il se trouva quatre ou cinq jours dans une maison de campagne, sans aucun livre, et il remplit encore ce vide en composant quelque partie de ce traité. Enfin en ménageant ainsi quelques petits temps, il a achevé ce qu'il avait dessein de faire de cet ouvrage, s'étant borné d'abord à la géométrie des plans comme pouvant suffire au commun du monde.

Quelques personnes se sont étonnées qu'en écrivant d'une matière si étendue, et qui a été traitée par un si grand nombre d'habiles gens, il ne lût pour cela aucun livre de géométrie, n'en ayant point même dans sa bibliothèque ; mais il leur répondait, que l'ordre le conduisait tellement, qu'il ne croyait pas pouvoir rien oublier de considérable. Il ajoutait même que cet ordre ne servait pas seulement à faciliter l'intelligence et à soulager la mémoire ; mais qu'il donnait lieu de trouver des principes plus féconds, et des démonstrations plus nettes que celles dont on se sert d'ordinaire. Et en effet il n'y a presque dans ces nouveaux Éléments que des démonstrations toutes nouvelles ; qui naissent d'elles-mêmes des principes qui y sont établis, et qui comprennent un assez grand nombre de nouvelles propositions.

On voit assez par là qu'il n'était pas fort difficile à l'auteur de la nouvelle logique ou art de penser, qui avait vu quelque chose de cette géométrie, de remarquer, comme il a fait dans la IVe partie, les défauts de la méthode d'Euclide, et d'avancer qu'on pouvait digérer la géométrie dans un meilleur ordre. C'était deviner les choses passées. Mais cette avance qu'il avait faite, sans se hasarder beaucoup, a depuis servi d'engagement à produire ce petit ouvrage, à quoi l'on n'aurait peut-être jamais pensé. Car tant de personnes ont demandé au libraire une nouvelle géométrie, qu'on n'a pas pu la refuser aux instances qu'il a faites de leur part pour l'obtenir, n'étant pas juste de se faire beaucoup prier pour si peu de chose.

On s'est donc résolu de la donner au public, et de le rendre juge de l'utilité qu'on en peut tirer. On croit seulement devoir avertir le monde qu'il y aura peut-être quelques personnes qui pourront trouver les IV premiers livres un peu difficiles, parce qu'on s'y est servi de démonstrations d'algèbre, auxquelles on a quelque peine d'abord à s'accoutumer. La raison qui a obligé d'en user ainsi est, que traitant des grandeurs en général en tant que ce mot comprend toutes les espèces de quantité, on ne pouvait pas se servir de figures pour aider l'imagination ; outre que l'on jugeait qu'il était utile de se rompre d'abord à cette méthode, qui est la plus féconde et la plus géométrique ; mais ceux néanmoins à qui elle ferait trop de peine ont moyen de s'en exempter en commençant par le Ve livre, et en supposant prouvées quelques propositions qui dépendent des quatre premiers. Ce remède est aisé, et il ne les privera pas du fruit qu'ils pourront tirer de la méthode de ces Éléments, lorsqu'en une seconde lecture ils les liront tous de suite.

Pour les autres jugements qu'on peut faire de cet ouvrage, comme il est facile de les prévoir, il semble aussi qu'on n'ait pas sujet de s'en mettre en peine. Car s'il se trouve des personnes qui le méprisent par des principes plus élevés, et par un éloignement de toutes ces sortes de sciences, peut-être ne seront-ils pas fort éloignés du sentiment de l'auteur. S'il y en a qui le blâment comme géomètres en y remarquant de véritables fautes, ils seront encore d'accord avec lui, parce qu'il sera toujours tout prêt de les corriger. Enfin ceux qui le reprendront comme géomètres, mais en se trompant, ne peuvent pas lui être fort incommodes, parce que c'est une matière où les vérités sont si claires, qu'elles n'ont guère besoin d'apologie contre les injustes accusations. 


(*) Arnauld Antoine, Nouveaux Éléments de géométrie, seconde édition, Paris, Guillaume Desprez, 1683. Texte de la page de titre originale : "Nouveaux Éléments de géométrie, contenant, outre un ordre tout nouveau, et de nouvelles démonstrations des propositions les plus communes, de nouveaux moyens de faire voir quelles lignes sont incommensurables, de nouvelles mesures des angles, dont on ne s'était pas encore avisé, et de nouvelles manières de trouver et de démontrer la proportion des lignes. Seconde édition où il y a un traité nouveau des proportions, et beaucoup d'autres changements considérables."

(1) Nous reproduisons le texte de la seconde édition augmentée, parue chez Guillaume Desprez en 1683. Notre présentation renvoie, par commodité et souci de précision, aux numéros d'ordre des paragraphes, quoique le texte n'en comporte pas.

(2) Si l'on en croit le témoignage de Racine rapporté dans son Abrégé de l'histoire de Port-Royal ; voir l'édition de la Logique donnée chez Vrin par Pierre Clair et François Girbal (Paris, Vrin, 1981, p. 365). Ce que Racine appelle "préfaces" est appelé "discours" dans la Logique.

(3) "Voilà une belle occupation pour M. Arnauld de travailler à une logique ! Les besoins de l'Église demandent tout son travail." (Pascal, Pensées, in OEuvres complètes, Paris, Seuil, 1963, coll. "L'Intégrale", pensée n° 1003, p. 640. propos attribué à Pascal par l'abbé Pascal).

(4) Voir le tome I des OEuvres complètes de Pascal éditées par Jean Mesnard (Paris, Desclée De Brouwer, 1964, p. 995). Cette hypothèse éclaire la phrase un peu énigmatique du paragraphe 24 : "C'était deviner les choses passées." Si, au moment de la publication de la Logique, les Nouveaux Éléments étaient déjà rédigés, alors certes l'auteur de la Logique pouvait "avancer qu'on pouvait digérer la géométrie dans un meilleur ordre" que celui d'Euclide. La formule exacte de la Logique est : "Je m'imagine qu'on pourrait faire des éléments de Géométrie où toutes choses seraient traitées dans leur ordre naturel, toutes les propositions prouvées par des voies très simples et très naturelles, et où tout néanmoins serait très clairement démontré" (Logique, op. cit., IV, chap. X, p. 333). Une addition ultérieure précise : "C'est ce qu'on a depuis exécuté dans les Nouveaux Éléments de Géométrie, et particulièrement dans la nouvelle édition qui vient de paraître."

(5) Cette stratégie avait déjà été employée par Nicole dans l'Avis situé en tête de la Logique, où il est dit que "la naissance de ce petit ouvrage est due entièrement au hasard" (Logique, op. cit., p. 13).

(6) Voir sur ce point le beau livre de Jean-Louis Gardies, Le Raisonnement par l'absurde (Paris, PUF, 1991) ; sur Arnauld, voir les pages 160 à 170. Dans la Logique de Port-Royal (Paris, Vrin, 1981), voir op. cit., quatrième partie, chap. IX, point III, p. 328-329. L'ensemble de ce chapitre IX, ainsi que le chapitre X, sont de véritables "textes parallèles" à la Préface que nous publions.

(7) Il semble que ce refus des preuves apagogiques eut une influence profonde et durable sur l'enseignement des mathématiques en France.

(8) C'est ainsi que la Logique reproche à Euclide de "prouver des choses qui n'ont pas besoin de preuve" (op. cit., IV, 9, p. 326-328), parce qu'elles seraient suffisamment évidentes par elles-mêmes. Sur ce point, le développement de la logique formelle depuis deux siècles a donné raison à Euclide, non aux Messieurs.

Cahiers philosophiques, n°102, page 109 (06/2005)

Cahiers philosophiques - La géométrie selon Port-Royal